この言葉も大変よく聞く「アドバイス」ではありませんか？同じ意味の言葉で「入った音を耳で聞け！」とも言いますね。

おそらく、パットを打つ時に「外れたらみっともないな」とか「絶対入れたい！」とかいった余分な感情を持たないようにパッティング動作に集中させるためと、結果を確認しようとしてカップの方を見るために頭が動いてしまうことを防ぐ意味の言葉ではないでしょうかね。

しかしながら、カップを見る（見ない）ことと、パッティングが入る（入らない）事は直接関係ありません。インパクトまでは頭を残しておいた方が良いのですが、その後はパターのクラブヘッドを真っ直ぐ送るだけですので、頭は動かしても構いません。しっかりボールの行方を追いかけていいのです。

これもゴルフの醍醐味でしょうし、どうしてもヘッドアップが気になるのであれば、目だけでボールを追いかけることも可能ではありませんか？カップとボールの位置が離れているなら、インパクトからカップインまでそれなりの時間がかかる訳ですし、幾ばくかの時間が過ぎた後はボールを見ても全く問題ないでしょう。また、仮にボールとカップ位置が近ければ、目線で追いかけるのも楽にできるでしょうからね。

いずれにしろ、ボールがカップインすることを見たいのであれば、その為の方法を工夫すればよいという事です。